공부법
수학을 잘하는 방법 (수학 3등급이 서울대에 가기끼지)
저는 수학을 못했습니다. 남들이 보기엔 '그 것도 잘한거다'라고 말할 수 있지만 적어도 서울대에 갈 성적은 못 되었습니다. 1학년 첫 모의고사에서 수학 3등급을 맞았고 1학년 1학기 수학 3등급, 2학기 2등급, 2학년 1학기 3등급이었습니다.이대로는 안되겠다 싶어 2학년 여름방학에 수학 성적 한 번 올려보자는 생각으로 할 수 있는 것은 다 해봤습니다.그 결과 저는 어떻게하면 수학을 잘 할 수 있는지 깨달았고, 그 방법으로 2학년 2학기 수학2 1등급, 확통 1등급(전교2등), 3학년 1학기 미적분 전교1등으로 졸업하게 되었습니다. 그리고 이 스토리 노트를 통해 제가 수학을 잘하게 된 방법을 알려드리려 합니다. 제 경험과 이론을 적절히 융합해 설명해드리도록 하겠습니다. 일단 저는 다니던 수학학원에 추가로 개인 과외를 했습니다.수학학원에서 개념과 양치기를 하고, 과외를 통해 어려운 문제들을 풀었습니다.과외에선 '블랙라벨'이라는 최상위 레벨의 문제집을 풀었습니다. 과외 선생님은 저희 모교 출신 연세대 공대 형이었습니다. 그 과외 방식을 통해 저는 큰 깨달음을 얻었습니다. 저는 수학을 잘하게 되면 아무리 어려운 문제라도 딱 보면 풀게 될 줄 알았는데 수학을 잘해 명문대에 간 그 형도 끙끙대며 저와 함께 30분 40분이 넘도록 고민하고 그 정도 시간이 지나도 안풀리면 과외 학생 앞에서 쪽팔려서라도 몰래 답지를 보고 답을 알려줄 것 같은데 절대 답지를 보지 않고 풀릴 때까지 함께 푸는 것이었습니다.처음엔 과외 선생이면 나한테 가르쳐 줘야지 왜 나랑 같이 문제를 풀고 있지 하는 생각이 들었습니다. 하지만 어려운 문제를 마딱뜨렸을 때 함께 고민하며 이 개념 저 개념을 떠올려보고 적용시켜보고, 아니면 또 다른 개념들을 적용시켜보는 이런 과정들을 통해 결국 1~2시간 고민 끝에 문제를 해결하면 가르쳐서 배우는 것보다 몇 배 더 큰 가르침들이 머리 속에 남아있었습니다.이런 깨달음을 통해 어떻게 수학을 공부해야 될지 고민했고 결국 수학 문제를 푸는 방법에 대해 생각해보게 되었습니다. 비유를 통해 수학 문제 푸는 방법을 알려드리겠습니다.'수학 문제'는 '요리'입니다. 그리고 '수능'과 '내신 시험'은 '요리 경연대회'입니다. 우리가 흔히 말하는 킬러문항은 복잡하고 어려운 요리라고 생각하시면 됩니다.요리에서 가장 중요한 것은 식재료입니다. 우리가 음식을 통해 원하는 맛, 원하는 효능을 내기 위해선 식재료의 특성을 잘 알아야합니다. '식재료'는 '개념'입니다. 완벽한 요리를 위해서는 식재료에 대한 완벽한 이해가 있어야합니다. 이 이해는 단순히 재료의 특성 뿐만 아니라, 요리에 사용되었을 때의 역할도 포함됩니다. '소금은 Na와 Cl이온으로 이루어져 있다'도 영양소를 따질 때 알아야 하지만, '소금은 짠 맛이 부족할 때 쓰인다'를 아는 것도 중요합니다. 마찬가지로, 사잇값 정리는 실숫값 함수 가 구간 에서 연속이고 즉 ,<0 또는 0>이면을 만족하는 점 가 와 사이에 적어도 하나 존재한다.[네이버 지식백과] 사잇값 정리 (수학백과, 2015.5)가 정의 이지만 '두 수 사이에 근이 적어도 하나 있는지 알고 싶을 때 쓰인다' 도 알아야 합니다.또 예를 들자면 도함수의 정의는 Δx→0limΔxf(x+Δx)−f(x)이지만 '원래 함수가 어떻게 생겼는지 알고 싶을 때 쓰인다' 도 알아야 합니다.이처럼 개념에 대한 완벽한 이해가 있어야 문제를 풀 수 있습니다. 개념의 이해는 깊을 수록 좋습니다.'설탕은 단맛을 낸다'만 아는 사람은 설탕을 단 맛이 부족할 때에만 쓰지만 '설탕은 감칠맛을 낼 때도 쓴다'는 것을 아는 사람은 설탕의 활용도를 더 높일 수 있습니다.미분이 '원래 함수가 어떻게 생겼는지 알고 싶을 때 쓰인다' 만 아는 사람보다 '아주 작은 순간의 변화를 알고 싶을 때 쓰인다'를 아는 사람이 더 미분을 다양한 곳에서 쓸 수 있는 것입니다.이렇게 사용할 재료에 대한 이해가 완벽하다 해서 요리가 되는 것은 아닙니다. 재료를 얼마나 끓일지, 어떻게 썰지, 언제 넣을지도 음식의 완성도에 큰 부분을 차지합니다. 만약 레시피가 있다면 그대로 하면 되지만 그렇지 않은 경우에는 수백 번 수천 번 연습해보는 수 밖에 없습니다. 또 경연대회에 나갔는데 레시피가 없다면 직접 간을 보고 감으로 요리를 해야하지만 평소에 레시피만 보고 요리를 만들었다면 절대 요리를 완성할 수 없을 것입니다.수능, 내신 시험장에는 레시피도 없고, 심지어는 무게를 잴 저울, 양을 맞출 비커, 스푼도 없습니다.오로지 수백, 수천 번의 연습을 통해 갈고 닦은 감을 통해 요리를 완성시켜야 하는 시험입니다.앞의 비유를 통한 수학 문제를 푸는 방법을 정리해보면 다음과 같습니다. 1. 개념에 대한 폭 넓은 이해가 필요하다. 이 때 그 개념의 다양한 쓰임과 해석에 대해 아는 것도 중요하다.2. 이 개념들을 활용해 피나는 연습을 한다. 정말 간단해 보이지만 이를 실천하기란 쉽지 않습니다. 특히 저 1번을 실현하기 정말 쉽지 않습니다. 하지만 저는 여러 시행착오 끝에 저만의 방법을 터특했고 그 방법은 다음과 같습니다. 1. 교과서, 문제집에 나오는 개념들을 직접 설명해 보세요개념 공부를 다 끝냈다고 생각하시면 어머니나 아버지를 데려와 앉히세요. 그리고 지금 내가 배운 개념을 그들이 이해할 수 있도록 설명해보세요. 친구, 동생, 아무나 괜찮습니다. 만약 그럴 사람이 없다면 거울을 보고 선생님이 되었다고 생각하고 설명해보세요. 설명하다 보면 혹은 어머니의 날카로운 질문에 말문이 막힐 때가 있을 겁니다. 그 부분을 모르는 거고 그 부분을 다시 책을 펴고 공부하면 됩니다. 2. 어려운 문제를 풀되 답지를 보지 마세요. 개념 공부가 얼추 되었다면 어려운 문제집을 사세요(블랙라벨, 기출 킬러 추천). 답지는 생각의 힘을 기르는데 가장 방해가 되는 요소입니다. 만약 지금 시간의 여유가 있고(내신 기간이 아니고)(보통 방학 기간 추천) 수학 실력을 올리고 싶다면 지금 당장 답지를 버리세요. 지금까지 공부한 개념을 토대로 문제를 풀어보시고 안 풀려도 끝까지 고민해보세요. 그래도 풀리지 않는다면 일단 넘어가시고 내일, 또 안 풀리면 그 다음날 계속 다시 보세요. 공부를 제대로 하고 있다는 가정 하에 결국 풀릴 것입니다. 저는 최대 한 문제 만으로 이틀 동안 고민했습니다. 이틀 째 되는 날 밤까지도 풀리지 않았었는데 이틀 동안 그 문제 생각만 하니 누워서 눈을 감아도 그 문제 생각만 났습니다. 그렇게 눈 감고 그 문제만 생각하다 갑자기 풀이법이 생각나서 벌떡 일어나 스탠드를 켜고 결국 풀었습니다. 3. 다양한 문제를 많이 푸세요.내가 이 개념을 이해 했는지 못 했는지 확인하는 가장 쉬운 방법은 문제를 푸는 것 입니다. 다양한 유형을 문제를 접해보면 개념들을 다양한 방식으로 적용해보게 되고 자연스럽게 그 개념의 다양한 쓰임에 대해서도 알게 됩니다. 저의 경우 내신 시험 기간에 마플 교과서, 마플 시너지, 쎈, 블랙라벨, 일등급 수학, 일품, 기출, RPM을 모두 풀었습니다.말도 안되는 양 같지만 한 번 궤도에 오르면 문제 푸는 속도가 정말 빨라집니다. 나중에는 간단한 문제들은 쓱 보면 어떻게 풀면 될지 바로 보이게 될 겁니다. 지금까지 어떻게 하면 수학을 잘하게 될지 제 경험과 생각들을 주저리주저리 적어봤는데요.제 스토리 노트가 도움이 되셨으면 좋겠습니다. 감사합니다!
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