정시
25년 3월 전국연합학력평가 고3 수학 문제 풀이 2(8번~15번)
안녕하세요! 멘토 리미나입니다! 오늘은 2025년 고3 연합학령평가 수학 문제를 한 번 풀어보고자 합니다. 사실 더 일찍 들고 올 생각이었는데, 저도 시험이 있고 해서 조금 늦어졌습니다. 제가 너무 오랜만에 본격적으로 풀어보는 수학 문제라 다소 해설에 문제가 있을 수 있다는 점 미리 양해 구합니다. 문제 사진 넣고 풀이 다는 식으로 하고자 합니다! 8번: log 문제입니다. a=(log3)²-(log2)²=(log3-log2)(log3+log2)=(log3/2)xlog6=log(3/2X6). b의 경우 밑의 6과 진수10의 위치를 바꿔주면 1/log6. ab=log3/2 X log6 X 1/log6=log3/2. 따라서 답은 3/2. 3번. 9번: 거리, 속도, 시간문제입니다. 적분으로 문제를 풀어주시면 됩니다. ∫을 전개하면, [-t³+3t²](위에 a랑 0이 있어야 하는데 되지가 않네요.) -a³+3a²=-a²(a-3). a=0 or 3. a는 양수여야 하므로, a=3. 2a=6. 인테그랄이 제대로 쓰기가 애매해서, 써보자면, [-t³+3t²]²(0이 밑)+[t³-3t²](6이 위, 2가 밑)=-8+12+216-108-(8-12)=4+108+4=108+8=116. 따라서 답은 116, 3번. 10번: 사실 이런 문제 저는 어차피 객관식이니까 n에 그냥 나온 숫자를 다 대입하는 걸 추천합니다. 이게 보면 n이 3의 배수가 되면, 10+10-19=1이 되어서, 결국 1만 남아요. 즉, 위의 n이 3k면 k가 나온다는 이야기입니다. 이걸 아는 상태에서 하나씩 n에 대입해 보겠습니다. 우선 1번인 25. 3X8+1이니까 1x8+10=18. 하지만 옆은 3X25라서, 25이기 때문에 안 됩니다. 2번~5번도 이런 식으로 다 대입을 해줬어요. 그리고 마지막 5번. 29=3X9+2. -> 1X9+20=29. 답은 29, 5번. 11번: 우선 f(x)를 미분했습니다. f'(x)=3x²+6ax=3x(x+2a). x=-2a or 0. 여기서 우리는 두 가지 경우를 살펴야 합니다. a가 0보다 클 때, 혹은 a가 0 이하일 때. a가 0보다 크면, -2a는 0보다 작습니다. 따라서, 0일 때 극소. 극솟값이 -40이니까, 이를 대입하면 4a=-40. a=-10. a가 0보다 크다는 조건을 충족하지 못하니, 맞지 않습니다. a가 0 이하일 때는 -2a일 때 극소. f(-2a)=4a³+4a=-40. a³+a+10=(a+2)(a²-2a+5)=0. a=-2. 따라서, f(x)=x³-6x²-8. f(2)=8-24-8=-24. 답은 24, 1번. 12번: 우선 y=f(x)의 접선이 원점 O를 지나니, 접선은 ax=y. A를 t, f(t)라고 두면, f(t)=t³+2t²-t+4. 접선을 구하기 위해서 접선의 방정식을 사용하면... 우선 f(t)를 미분해 주면, 3t²+4t-1. 접선의 방정식을 구해봅시다. y=(3t²+4t-1)(x-t)+t³+2t²-t+4. 여기서 원점을 지나니까 (0,0)을 대입하면... 0=-2t³+6t²-2t+4=-2(t-1)(t²+2t+2). t=1. 따라서, A는 (1, 6), 접선은 y=6x. 이제 여기서 적분을 해주면 됩니다. x³+2²-x+4는 0~-2범위를, x³+2²-x-6x+4=x³+2²-7x+4는 1~0범위로 하면 됩니다. 그렇게 해서 나온 결과가 4분의 51. 답은 4번. 13번: 사실 저는 삼각함수 문제가 이런 식으로 나오는 게 너무 싫어요...일단 풀어보자면... 1-cos x의 경우 최댓값이 2, 최솟값이 0입니다. asinx의 경우 최댓값이 a, 최솟값이 -a고요. 다만 asinx는 범위가 x가 음수일 때라는 걸 우선 기억하고 들어가겠습니다. 이 경우는 a의 범위를 3개로 나눠서 봐야합니다. 우선 a가 0 이상일 때. -a일 때 최솟값, 최댓값은 2입니다. 2-(-a)=4. a=2. a가 -2 이상, 0 미만일 때는 닫힌구간이 주어졌기에 여기서 따지면 최댓값이 2, 최솟값이 0이라 아예 성립이 안 되고요. a가 -2 미만이면... 최솟값이 0, 최댓값이 -a. -a-0=4. a=-4. 지금껏 나온 a의 값을 곱하면 -8. 답은 3번. 14번: 저도 이걸 어떻게 푸는지 모르겠어요... 저도 이리저리 풀이를 찾아보고 한 거라서, 일단 최대한 시험지에 적었습니다. 이건 뭐라 제가 덧붙일 수가 없어서 시험지에 있는 걸로만 보고 넘기겠습니다...15번: 저는 이런 문제가 나오면 그냥 노가다를 합니다. 실수 전체의 집합에서 실수 전체의 집합으로의 일대일대응이니까, 우선 f(x)에서 위에 걸 보면 절댓값이기 때문에 y가 0 이상이 나오게 됩니다. 밑의 치역이 실수 전체의 집합이고, 함수 f(x)의 치역이 실수 전체의 집합이므로 p는 0 이하에, 실수 전체의 집합으로의 일대일대응이니까 p=0. 위의 걸 x가 0 이하 일 때로 계산하면 0일 때가 최댓값이니 3이 나오고 이후로는 계속 절댓값이 커집니다. 따라서, y가 3 이상 4 미만이 나옵니다. 그리고 여기서 밑의 거 다시 계산하면 x가 0보다 크고, q 이하일 때입니다. 이때는 y가 3 미만, x가 q 이상일 때는 y가 4 이상입니다. 그러니, 위의 거에 q를 대입하면, q=8. 밑의 거가 3이 나와야 하니까, 또 이걸 x에 3을 대입하고, 하면 대입하면 a도 나오고요. p=0, q=3이니까, f(3/2)를 구하면 됩니다. 이러면 답은 2. 2번. 솔직히 말하자면 14번 15번은 되게 오래 걸렸고, 되게 안 풀려서... 이해도 잘 안되고 해서 답지 엄청 열심히 찾았어요. 15번은 그래도 답지 보고 이해는 됐는데(지금은 또 이해 안 되는...) 14번은 답지도 이해 안 돼서 열심히 뒤져봤답니다. 그럼, 이상으로 이번 스토리노트를 마치겠습니다. 감사합니다! 다음은 서술형을 들고 오겠습니다!
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